KILLEDRuntime Complexity (full) proof of /tmp/tmpa40us4/LengthOfFiniteLists_complete_C.xml
The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).0 CpxTRS↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 13.4 s)↳2 BOUNDS(n^1, INF)↳3 RenamingProof (⇔, 0 ms)↳4 CpxRelTRS↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)↳6 typed CpxTrs↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳8 typed CpxTrs↳9 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 454 ms)↳10 BEST↳11 typed CpxTrs↳12 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 10 ms)↳13 BEST↳14 typed CpxTrs↳15 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳16 typed CpxTrs↳17 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 10 ms)↳18 BEST↳19 typed CpxTrs↳20 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳21 typed CpxTrs↳22 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 21 ms)↳23 BEST↳24 typed CpxTrs↳25 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 131 ms)↳26 BEST↳27 typed CpxTrs↳28 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳29 BEST↳30 typed CpxTrs↳31 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳32 typed CpxTrs↳33 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 110 ms)↳34 BEST↳35 typed CpxTrs↳36 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 72 ms)↳37 BEST↳38 typed CpxTrs↳39 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 90 ms)↳40 BEST↳41 typed CpxTrs↳42 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 79 ms)↳43 BEST↳44 typed CpxTrs↳45 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 95 ms)↳46 BEST↳47 typed CpxTrs↳48 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳49 typed CpxTrs↳50 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 64 ms)↳51 BEST↳52 typed CpxTrs↳53 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)↳54 typed CpxTrs↳55 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 35 ms)↳56 BEST↳57 typed CpxTrs↳58 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 101 ms)↳59 BEST↳60 typed CpxTrs↳61 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 117 ms)↳62 BEST↳63 typed CpxTrs↳64 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 96 ms)↳65 BEST↳66 typed CpxTrs↳67 RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 24 ms)↳68 BEST↳69 typed CpxTrs↳70 typed CpxTrs↳71 typed CpxTrs↳72 typed CpxTrs↳73 typed CpxTrs↳74 typed CpxTrs↳75 typed CpxTrs↳76 typed CpxTrs↳77 typed CpxTrs↳78 typed CpxTrs↳79 typed CpxTrs↳80 typed CpxTrs↳81 typed CpxTrs↳82 typed CpxTrs↳83 typed CpxTrs↳84 typed CpxTrs↳85 typed CpxTrs↳86 typed CpxTrs(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0, zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0)) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0)) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0)
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0) → ok(0)
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Rewrite Strategy: FULL(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n1):
The rewrite sequence
cons(mark(X1), X2) →+ mark(cons(X1, X2))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0].
The pumping substitution is [X1 / mark(X1)].
The result substitution is [ ].(2) BOUNDS(n^1, INF)
(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
S is empty.
Rewrite Strategy: FULL(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.(6) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:ok(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
active, cons, U12, isNatList, U22, isNat, U32, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U12 < active
isNatList < active
U22 < active
isNat < active
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
cons < proper
U12 < proper
isNatList < proper
U22 < proper
isNat < proper
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(8) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okGenerator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
cons, active, U12, isNatList, U22, isNat, U32, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
cons < active
U12 < active
isNatList < active
U22 < active
isNat < active
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
cons < proper
U12 < proper
isNatList < proper
U22 < proper
isNat < proper
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(9) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Induction Base:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n5_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(10) Complex Obligation (BEST)
(11) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U12, active, isNatList, U22, isNat, U32, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U12 < active
isNatList < active
U22 < active
isNat < active
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U12 < proper
isNatList < proper
U22 < proper
isNat < proper
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(12) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)Induction Base:
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n1922_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(13) Complex Obligation (BEST)
(14) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, active, U22, isNat, U32, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatList < active
U22 < active
isNat < active
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNatList < proper
U22 < proper
isNat < proper
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(15) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.(16) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U22, active, isNat, U32, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U22 < active
isNat < active
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U22 < proper
isNat < proper
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(17) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)Induction Base:
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n2696_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(18) Complex Obligation (BEST)
(19) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, active, U32, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNat < active
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNat < proper
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.(21) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U32, active, U42, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U32 < active
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U32 < proper
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(22) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)Induction Base:
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n3574_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(23) Complex Obligation (BEST)
(24) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U42, active, U43, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U42 < active
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U42 < proper
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(25) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)Induction Base:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n4538_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(26) Complex Obligation (BEST)
(27) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U43, active, isNatIList, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U43 < active
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U43 < proper
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(28) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)Induction Base:
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n7377_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(29) Complex Obligation (BEST)
(30) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList, active, U52, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIList < active
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNatIList < proper
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(31) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.(32) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U52, active, U53, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U52 < active
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U52 < proper
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(33) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)Induction Base:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n8618_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(34) Complex Obligation (BEST)
(35) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U53, active, s, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U53 < active
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U53 < proper
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(36) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)Induction Base:
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n11967_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(37) Complex Obligation (BEST)
(38) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
s, active, length, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
s < active
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
s < proper
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(39) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)Induction Base:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n13433_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(40) Complex Obligation (BEST)
(41) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
length, active, U11, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
length < active
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
length < proper
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(42) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)Induction Base:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)))Induction Step:
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n15000_0, 1)))) →RΩ(1)
mark(length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0)))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(43) Complex Obligation (BEST)
(44) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U11, active, isNatIListKind, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U11 < active
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U11 < proper
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(45) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)Induction Base:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n16668_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(46) Complex Obligation (BEST)
(47) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind, active, U21, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind < active
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNatIListKind < proper
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(48) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind.(49) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U21, active, isNatKind, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U21 < active
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U21 < proper
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(50) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)Induction Base:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n20984_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(51) Complex Obligation (BEST)
(52) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, active, U31, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
isNatKind < active
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
isNatKind < proper
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(53) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.(54) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U31, active, U41, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U31 < active
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U31 < proper
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(55) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)Induction Base:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n25609_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(56) Complex Obligation (BEST)
(57) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U41, active, and, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U41 < active
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
U41 < proper
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(58) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)Induction Base:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))Induction Step:
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n30488_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) →RΩ(1)
mark(U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(59) Complex Obligation (BEST)
(60) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
and, active, U51, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
and < active
U51 < active
U61 < active
active < top
and < proper
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(61) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)Induction Base:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n38739_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(62) Complex Obligation (BEST)
(63) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U51, active, U61, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U51 < active
U61 < active
active < top
U51 < proper
U61 < proper
proper < top(64) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44324_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n443240)Induction Base:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))Induction Step:
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n44324_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) →RΩ(1)
mark(U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44324_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(65) Complex Obligation (BEST)
(66) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44324_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n443240)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
U61, active, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
U61 < active
active < top
U61 < proper
proper < top(67) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Proved the following rewrite lemma:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53638_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n536380)Induction Base:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, 0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))Induction Step:
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, +(n53638_0, 1))), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) →RΩ(1)
mark(U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53638_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b))) →IH
mark(*4_0)We have rt ∈ Ω(n1) and sz ∈ O(n). Thus, we have ircR ∈ Ω(n).
(68) Complex Obligation (BEST)
(69) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44324_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n443240)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53638_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n536380)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))The following defined symbols remain to be analysed:
active, proper, topThey will be analysed ascendingly in the following order:
active < top
proper < top(70) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44324_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n443240)
U61(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n53638_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n536380)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(71) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)
U51(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n44324_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n443240)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(72) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)
and(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n38739_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n387390)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(73) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)
U41(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n30488_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(c)) → *4_0, rt ∈ Ω(n304880)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(74) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)
U31(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n25609_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n256090)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(75) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)
U21(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n20984_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n209840)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(76) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)
U11(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n16668_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n166680)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(77) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)
length(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n15000_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n150000)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(78) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)
s(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n13433_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n134330)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(79) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)
U53(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n11967_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n119670)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(80) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)
U52(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n8618_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n86180)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(81) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)
U43(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n7377_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n73770)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(82) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)
U42(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n4538_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n45380)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(83) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)
U32(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n3574_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n35740)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(84) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)
U22(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n2696_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n26960)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(85) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)
U12(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n1922_0))) → *4_0, rt ∈ Ω(n19220)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.
(86) Obligation:
TRS:
Rules:
active(zeros) → mark(cons(0', zeros))
active(U11(tt, V1)) → mark(U12(isNatList(V1)))
active(U12(tt)) → mark(tt)
active(U21(tt, V1)) → mark(U22(isNat(V1)))
active(U22(tt)) → mark(tt)
active(U31(tt, V)) → mark(U32(isNatList(V)))
active(U32(tt)) → mark(tt)
active(U41(tt, V1, V2)) → mark(U42(isNat(V1), V2))
active(U42(tt, V2)) → mark(U43(isNatIList(V2)))
active(U43(tt)) → mark(tt)
active(U51(tt, V1, V2)) → mark(U52(isNat(V1), V2))
active(U52(tt, V2)) → mark(U53(isNatList(V2)))
active(U53(tt)) → mark(tt)
active(U61(tt, L)) → mark(s(length(L)))
active(and(tt, X)) → mark(X)
active(isNat(0')) → mark(tt)
active(isNat(length(V1))) → mark(U11(isNatIListKind(V1), V1))
active(isNat(s(V1))) → mark(U21(isNatKind(V1), V1))
active(isNatIList(V)) → mark(U31(isNatIListKind(V), V))
active(isNatIList(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIList(cons(V1, V2))) → mark(U41(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(isNatIListKind(nil)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(zeros)) → mark(tt)
active(isNatIListKind(cons(V1, V2))) → mark(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)))
active(isNatKind(0')) → mark(tt)
active(isNatKind(length(V1))) → mark(isNatIListKind(V1))
active(isNatKind(s(V1))) → mark(isNatKind(V1))
active(isNatList(nil)) → mark(tt)
active(isNatList(cons(V1, V2))) → mark(U51(and(isNatKind(V1), isNatIListKind(V2)), V1, V2))
active(length(nil)) → mark(0')
active(length(cons(N, L))) → mark(U61(and(and(isNatList(L), isNatIListKind(L)), and(isNat(N), isNatKind(N))), L))
active(cons(X1, X2)) → cons(active(X1), X2)
active(U11(X1, X2)) → U11(active(X1), X2)
active(U12(X)) → U12(active(X))
active(U21(X1, X2)) → U21(active(X1), X2)
active(U22(X)) → U22(active(X))
active(U31(X1, X2)) → U31(active(X1), X2)
active(U32(X)) → U32(active(X))
active(U41(X1, X2, X3)) → U41(active(X1), X2, X3)
active(U42(X1, X2)) → U42(active(X1), X2)
active(U43(X)) → U43(active(X))
active(U51(X1, X2, X3)) → U51(active(X1), X2, X3)
active(U52(X1, X2)) → U52(active(X1), X2)
active(U53(X)) → U53(active(X))
active(U61(X1, X2)) → U61(active(X1), X2)
active(s(X)) → s(active(X))
active(length(X)) → length(active(X))
active(and(X1, X2)) → and(active(X1), X2)
cons(mark(X1), X2) → mark(cons(X1, X2))
U11(mark(X1), X2) → mark(U11(X1, X2))
U12(mark(X)) → mark(U12(X))
U21(mark(X1), X2) → mark(U21(X1, X2))
U22(mark(X)) → mark(U22(X))
U31(mark(X1), X2) → mark(U31(X1, X2))
U32(mark(X)) → mark(U32(X))
U41(mark(X1), X2, X3) → mark(U41(X1, X2, X3))
U42(mark(X1), X2) → mark(U42(X1, X2))
U43(mark(X)) → mark(U43(X))
U51(mark(X1), X2, X3) → mark(U51(X1, X2, X3))
U52(mark(X1), X2) → mark(U52(X1, X2))
U53(mark(X)) → mark(U53(X))
U61(mark(X1), X2) → mark(U61(X1, X2))
s(mark(X)) → mark(s(X))
length(mark(X)) → mark(length(X))
and(mark(X1), X2) → mark(and(X1, X2))
proper(zeros) → ok(zeros)
proper(cons(X1, X2)) → cons(proper(X1), proper(X2))
proper(0') → ok(0')
proper(U11(X1, X2)) → U11(proper(X1), proper(X2))
proper(tt) → ok(tt)
proper(U12(X)) → U12(proper(X))
proper(isNatList(X)) → isNatList(proper(X))
proper(U21(X1, X2)) → U21(proper(X1), proper(X2))
proper(U22(X)) → U22(proper(X))
proper(isNat(X)) → isNat(proper(X))
proper(U31(X1, X2)) → U31(proper(X1), proper(X2))
proper(U32(X)) → U32(proper(X))
proper(U41(X1, X2, X3)) → U41(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U42(X1, X2)) → U42(proper(X1), proper(X2))
proper(U43(X)) → U43(proper(X))
proper(isNatIList(X)) → isNatIList(proper(X))
proper(U51(X1, X2, X3)) → U51(proper(X1), proper(X2), proper(X3))
proper(U52(X1, X2)) → U52(proper(X1), proper(X2))
proper(U53(X)) → U53(proper(X))
proper(U61(X1, X2)) → U61(proper(X1), proper(X2))
proper(s(X)) → s(proper(X))
proper(length(X)) → length(proper(X))
proper(and(X1, X2)) → and(proper(X1), proper(X2))
proper(isNatIListKind(X)) → isNatIListKind(proper(X))
proper(isNatKind(X)) → isNatKind(proper(X))
proper(nil) → ok(nil)
cons(ok(X1), ok(X2)) → ok(cons(X1, X2))
U11(ok(X1), ok(X2)) → ok(U11(X1, X2))
U12(ok(X)) → ok(U12(X))
isNatList(ok(X)) → ok(isNatList(X))
U21(ok(X1), ok(X2)) → ok(U21(X1, X2))
U22(ok(X)) → ok(U22(X))
isNat(ok(X)) → ok(isNat(X))
U31(ok(X1), ok(X2)) → ok(U31(X1, X2))
U32(ok(X)) → ok(U32(X))
U41(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U41(X1, X2, X3))
U42(ok(X1), ok(X2)) → ok(U42(X1, X2))
U43(ok(X)) → ok(U43(X))
isNatIList(ok(X)) → ok(isNatIList(X))
U51(ok(X1), ok(X2), ok(X3)) → ok(U51(X1, X2, X3))
U52(ok(X1), ok(X2)) → ok(U52(X1, X2))
U53(ok(X)) → ok(U53(X))
U61(ok(X1), ok(X2)) → ok(U61(X1, X2))
s(ok(X)) → ok(s(X))
length(ok(X)) → ok(length(X))
and(ok(X1), ok(X2)) → ok(and(X1, X2))
isNatIListKind(ok(X)) → ok(isNatIListKind(X))
isNatKind(ok(X)) → ok(isNatKind(X))
top(mark(X)) → top(proper(X))
top(ok(X)) → top(active(X))
Types:
active :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
zeros :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
mark :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
cons :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
0' :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U11 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
tt :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
U12 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U21 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U22 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNat :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U31 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U32 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U41 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U42 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U43 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIList :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U51 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U52 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U53 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
U61 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
s :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
length :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
and :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatIListKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
isNatKind :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
nil :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
proper :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
ok :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → zeros:0':mark:tt:nil:ok
top :: zeros:0':mark:tt:nil:ok → top
hole_zeros:0':mark:tt:nil:ok1_0 :: zeros:0':mark:tt:nil:ok
hole_top2_0 :: top
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0 :: Nat → zeros:0':mark:tt:nil:okLemmas:
cons(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(1, n5_0)), gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(b)) → *4_0, rt ∈ Ω(n50)Generator Equations:
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(0) ⇔ zeros
gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(+(x, 1)) ⇔ mark(gen_zeros:0':mark:tt:nil:ok3_0(x))No more defined symbols left to analyse.